习题 6, § 2

令$G$为拓扑群，令$H$为$G$的闭法线子群，同构于$\mathbf{R}^n$ ($n \geqslant 1$)，且$G/H$为阿贝尔的。

a) 此外，假设除了$H$本身和$\{ e \}$之外，$H$包含在$G$中没有连通的子群正常，并且$H$不包含在$G$的中心中。给定$x_0 \in G$，它不会与$H$的每个元素交换，证明对于每个$v \in H$，都存在一个唯一的$u \in H$，使得$x_0^{-1} u x_0 u^{-1} = v$。 （观察到，在$H$中的加法记号中，方程变为$u - x_0^{-1} u x_0 = -v$，并且$H$的连续自同态$u \to u - x_0^{-1} u x_0$是$\mathbf{R}^n$的线性映射自身。证明它的核是正常的$G$的子群。）此外，如果$f(u)$是唯一的$u \in H$，使得$x_0^{-1} u x_0 u^{-1} = v$，则$f$是$H$的双连续自同构。

b) 在a)的假设下，证明$G$的连续映射$g : y \to (f(x_0^{-1}yx_0y^{-1}))^{-1}y$自身具有与$x_0$可交换的所有元素的$G$由……组成的像子群$L$，并且关系 $g(y) = g(y')$ 相当于$y{y'}^{-1} \in H$。推论典范映射$p : G \to G/H$存在一个连续的双射$h : G/H \to L$，其逆为限制到$L$，并推论$G$与$H$的拓扑半正向乘积同构， $L$。