习题 1, § 3

a) 令 $(x_k)_{1 \leq k \leq m}$ 为实数的有限序列，使得 $|x_k| \leq 1$ 对应于 $1 \leq k \leq m$ 和 $\sum_{k=1}^m x_k = 0$。证明 $\mathbf{N}$ 的区间 $[1, m]$ 存在置换 $\sigma$，使得

对于所有$p = 1, 2, \ldots, m$，并且保留指标$h$的阶，其中$x_h > 0$和阶，指标$h$，其中$x_h < 0$[即，如果$h < k$和$x_h > 0$和$x_k > 0$，然后$\sigma(h) < \sigma(k)$，并且类似地对于指标$h$这样$x_h < 0$]。

b) 令$(x_k)_{1 \leq k \leq m}$为点$x_k = (x_{ki})_{1 \leq i \leq n}$或$\mathbf{R}^n$的有限序列，使得$||x_k|| \leq 1$为$1 \leq k \leq m$，以及$\sum_{k=1}^m x_k = 0$。证明存在 $\mathbf{N}$ 的区间 $[1, m]$ 置换 $\sigma$ 使得

[证明乘归纳于$n$，将$\mathbf{R}^n$视为乘积$\mathbf{R}^{n-1} \times \mathbf{R}$，并将$x_k = (x'_k, x_{kn})$与$x'_k \in \mathbf{R}^{n-1}$放在一起。取$\mathbf{N}$的区间$[1, m]$中的子集$H$，使得$\left\|\sum_{k \in H} x_k\right\|$为最大值；通过旋转，将约化转换为 $\sum_{k \in H} x'_k = 0$ 的情况，并表明在这种情况下，我们必须将 $x_{kn} \geq 0$ 替换为 $k \in H$，并将 $x_{kn} \leq 0$ 替换为 $k \notin H$；然后使用 a) 和电感假设。]

c) 设$(x_k)_{1 \leq k \leq m}$为有限序列或点或$\mathbf{R}^n$，使得$\|x_k\| \leq 1$对应于$1 \leq k \leq m$和$\left\|\sum_{k=1}^m x_k\right\| = a > 0$。证明存在 $\mathbf{N}$ 的区间 $[1, m]$ 置换 $\sigma$ 使得

对于所有 $p$ 使得 $1 \leq p \leq m$ [约化到情况 b)]。