习题 11, § 1

设X为拓扑空间，G为拓扑群。 X连续映射入G的集合$\mathscr{C}(X; G)$为群$G^X$子群。令$\mathfrak{S}$为X的子集中的集合。

a) 假设对于每个$A \in \mathscr{S}$、$G$中$e$的每个邻域$V$和每个$u \in \mathscr{C}(X; G)$，$G$中存在$e$的邻域$W$，使得$sWs^{-1} \subset W$对于所有$s \in u(A)$。证明$\mathscr{S}$收敛的拓扑与$\mathscr{C}(X; G)$的群结构兼容，并且如此定义的拓扑群$\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; G)$的右（左）均匀性与$\mathscr{S}$收敛的均匀性相同。考虑点收敛的情况、$G$局部紧致时紧致收敛的情况、以及$G$为阿贝尔的的情况。

b) 如果$G$是群，$\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$又赋予$\mathbf{R}^4$的拓扑，则证明一致收敛的拓扑与$\mathscr{C}(\mathbf{R}; G)$的群结构不相容。