习题 10, § 3

令X，Y为两个拓扑空间。对于X的每个子集 A和Y的每个子集 B，让$T(A, B)$表示所有$u \in \mathscr{C}(X; Y)$的集合，使得$u(A) \subset B$。

设$\mathscr{U} = (U_\alpha)$是X的开覆盖。令$\mathscr{T}_\mathscr{U}$表示由集合$T(F, V)$生成的$\mathscr{C}(X; Y)$上的拓扑，其中V穿过Y的所有开集合的集合，F穿过包含在at中的X的闭子集的集合至少一个$U_\alpha$。

a) 表明 $\mathscr{T}_u$ 比紧凑开放拓扑更更细（使用章 IX, § 4, no. 3 中的定理 3）。如果$X$是正则的，那么当$C(X, Y)$携带拓扑$\mathscr{T}_u$时，$C(X; Y) \times X$到$Y$的映射$(u, x) \to u(x)$是连续的。

b) 令$\mathscr{T}$为$C(X; Y)$上的拓扑，相对于$C(X; Y) \times X$到$Y$的映射$(u, x) \to u(x)$是连续的。令$u_0$为$X$到$Y$的连续映射，令$x_0$为$X$的点，令$V$为$Y$中的开集合，其中包含 $u_0(x_0)$。证明$X$中存在$x_0$的开邻域$U$，使得相对于$\mathscr{T}$，$T(U, V)$是$u_0$的邻域。

c) 假设$X$是完全正则的。证明，如果在$(u, x) \to u(x)$连续的$C(X; \mathbf{R})$上的拓扑$\mathscr{T}$中，有拓扑$\mathscr{T}_0$比所有其他拓扑更粗糙，则$\mathscr{T}_0$一定是紧开拓扑。 [令$T(U, V)$相对于$\mathscr{T}_0$为$C(X; \mathbf{R})$中$o$的邻域。令$(W_\alpha)$为$\overline{U}$的任意开覆盖；设$\mathfrak{W}$是集合$W_\alpha$和$C\overline{U}$形成的$X$的覆盖。使用 a) 并通过反证论证，表明 $W_\alpha$ 的有限数覆盖 $\overline{U}$。]

d) 证明，如果$X$是完全正则的但不是局部紧致的，则$C_c(X; \mathbf{R}) \times X$到$\mathbf{R}$的映射$(u, x) \to u(x)$在每个点不是连续的。 [考虑点$x_0$，它没有紧凑的邻域，并使用b)进行反证论证。]