习题 12, § 3

设X为拓扑空间，Y和Z两个一致的空间，X子集$\mathscr{S}$集合和Y的子集$\mathscr{T}$集合。

a) 令$u_0 \in \mathscr{C}(X; Y)$。证明，如果对于每个$A \in \mathscr{S}$，$u_0(A)$包含在$\mathscr{T}$的某些集合中，则$\mathscr{C}_{\mathscr{T}}(Y; Z)$的映射$v \to v \circ u_0$进入$\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Z)$是连续的。

b) 令 H 为 $\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ 的子空间，并令 $v_0 \in \mathscr{C}(Y; Z)$。证明如果对于所有 $A \in \mathscr{S}$，$v_0$ 在 $H(A)$ 上一致连续，则 H 到 $\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Z)$ 的映射 $u \to v_0 \circ u$ 是连续的。

c) 设 $u_0 \in \mathscr{C}(X; Y)$ 并设 $v_0 \in \mathscr{C}(Y; Z)$。假设对于每个$A \in \mathscr{S}$，存在$B \in \mathscr{T}$和Y满足条件的随从V： （一）$V(u_0(A)) \subset B$， (ii) $v_0$ 在 B 上一致连续。 那么$\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Y) \times \mathscr{C}_{\mathscr{T}}(Y; Z)$到$\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; Z)$的映射$(u, v) \to v \circ u$在$(u_0, v_0)$处连续。特别是，$\mathscr{C}_u(X; Y) \times \mathscr{C}_u(Y; Z)$到$\mathscr{C}_u(X; Z)$的映射$(u, v) \to v \circ u$在每个点$(u_0, v_0)$连续，使得$v_0$在Y上均匀连续。

d) 令 $v_0$ 为 $\mathbf{R}$ 自身的同胚 $x \to x^3$。证明 $\mathscr{C}_u(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ 的映射 $u \to v_0 \circ u$ 自身在每个点处不连续。