习题 13, § 3

令X，Y，Z为三个豪斯多夫拓扑空间。

a) 证明对于所有$u_0 \in \mathscr{C}(X; Y)$和所有$v_0 \in \mathscr{C}(Y; Z)$，$\mathscr{C}_c(Y; Z)$到$\mathscr{C}_c(X; Z)$的映射$v \to v \circ u_0$和$\mathscr{C}_c(X; Y)$到$\mathscr{C}_c(X; Z)$的$u \to v_0 \circ u$是连续的。

b) 假设 Y（或 Z）的每个点都有一个可数基数系统邻域，并且 X 有一个可数稠密子集。令 H 为 $\mathscr{C}_c(X; Y)$ 的紧凑子集。证明$H \times \mathscr{C}_c(Y; Z)$到$\mathscr{C}_c(X; Z)$的映射$(u, v) \to v \circ u$是连续的。 [首先证明，如果 K 是 X 的任何紧致子集，则 H(K) 是 Y 的紧致子集，由利用习题 7 和 9 a)。]

c) 证明$\mathscr{C}_c(\mathbf{Q}; \mathbf{Q}) \times \mathscr{C}_c(\mathbf{Q}; \mathbf{Q})$到$\mathscr{C}_c(\mathbf{Q}; \mathbf{Q})$的映射$(v, v) \to v \circ u$在任意点处不连续。