习题 5, § 3

设$X$是完全正则的空间。 a) 如果空间 $\mathscr{C}_c(X; \mathbf{R})$ 的每个点都有邻域的可数基数系统，则存在 $X$ 的紧致子集的递增序列 $(K_n)$ 使得每个紧致$X$中的子集包含在一些$K_n$中；对于任何可度量的空间 $Y$，$\mathscr{C}_c(X; Y)$ 都是可度量的。 b) $\mathscr{C}_c(X; \mathbf{R})$ 是可度量的并且是可数的型当且仅当所有紧致子空间 $K_n$ 都是可度量的（使用习题 4）。对于可数型的每个可度量空间 $Y$，$\mathscr{C}_c(X; Y)$ 都是可度量的且可数型。