习题 18, § 4

令$X$为实紧空间。

a) 证明，对于每个非零同态 $u : C(X; \mathbf{R}) \to \mathbf{R}$，存在唯一的点 $x \in X$，使得 $u(f) = f(x)$ 对于 $C(X; \mathbf{R})$ 中的所有 $f$。

b) 设$Y$为另一个实紧空间。证明，对于每个 $\mathbf{R}$ 代数同态 $v : C(Y; \mathbf{R}) \to C(X; \mathbf{R})$ 其中映射单位元素到单位元素，都存在唯一的连续映射 $w : X \to Y$，使得对于所有 $g \in C(Y; \mathbf{R})$ 都有$v(g) = g \circ w$。特别地，当且仅当$X$和$Y$同构时，$C(X; \mathbf{R})$和$C(Y; \mathbf{R})$是同构的。