Exercice 2, § 1

Algèbre commutative, I

On considère un diagramme commutatif de groupes commutatifs

\begin{array}{ccccc} A & \xrightarrow{u} & B & \xrightarrow{v} & C \\ a \downarrow & & b \downarrow & & \downarrow c \\ A' & \xrightarrow{u'} & B' & \xrightarrow{v'} & C' \\ a' \downarrow & & b' \downarrow & & \downarrow c' \\ A'' & \xrightarrow{u''} & B'' \end{array}

On suppose que : $1^\circ$ $(u,\ v)$ et $(b,\ b')$ sont des suites exactes ; $2^\circ$ $v' \circ u' = 0$ et $a' \circ a = 0$ ; $3^\circ$ $c$ et $u'$ sont injectifs et $a'$ est surjectif. Montrer que dans ces conditions $u''$ est injectif.

Solution

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