Exercice 10, § 2

a) Soient A un anneau, I un ensemble, R un sous-module de $L = A_d^{(i)}$. Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des couples $(J, S)$, où J est une partie finie de I et S un sous-module de type fini de $A_d^J \cap R$. On ordonne $\mathscr{S}$ par la relation « $J \subset J'$ et $S \subset S'$ » ; montrer que $\mathscr{S}$ est filtrant pour cette relation d’ordre, que la famille $(A_d^J/S)$ est un système inductif de A-modules à droite ayant $\mathscr{S}$ pour ensemble d’indices et qu’il existe un isomorphisme de $L/R$ sur $\lim_{(J, S) \in \mathscr{S}} (A_d^J/S)$.

b) Déduire de a) que tout A-module est limite inductive de A-modules de présentation finie.