Bài tập 10, § 2

(a) Cho $A$ là một vành, $I$ là một tập hợp và $R$ là một môđun con của $L = A_d^{(I)}$. Gọi $\mathscr{G}$ là tập hợp các cặp có thứ tự $(J, S)$, trong đó $J$ là một tập con hữu hạn của $I$ và $S$ là một môđun con sinh hữu hạn của $A_d^J \cap R$. $\mathscr{G}$ được sắp thứ tự bởi quan hệ "$J \subset J'$ và $S \subset S'$"; hãy chỉ ra rằng $\mathscr{G}$ là có hướng đối với quan hệ thứ tự này, rằng họ $(A_d^J/S)$ là một hệ trực tiếp của các môđun phải $A$ với $\mathscr{G}$ làm tập hợp chỉ số và rằng tồn tại một đẳng cấu từ $L/R$ lên $\varprojlim_{(J, S) \in \mathscr{G}} (A_d^J/S)$.

(b) Suy ra từ (a) rằng mọi $A$-môđun là một giới hạn trực tiếp của các $A$-môđun trình bày hữu hạn.