Exercice 14, § 2

Algèbre commutative, I

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soient A, B deux anneaux, E un A-module à gauche, F un (A, B)-bimodule, G un B-module à droite ; on considère l’homomorphisme canonique (Alg., chap. II, 3e éd., § 4, exerc. 5)

\sigma : \mathrm{Hom}_u(F, G) \otimes_A E \to \mathrm{Hom}_u(\mathrm{Hom}_A(E, F), G)

tel que $(\sigma(u \otimes x))(v) = u(v(x))$ pour $x \in E, u \in \mathrm{Hom}_B(F, G), v \in \mathrm{Hom}_A(E, F)$ . Montrer que, si $G$ est un B-module injectif (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 11) et si $E$ est de présentation finie, $\sigma$ est bijectif. (Considérer d’abord le cas où $E$ est libre de type fini.)

Solution

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