Exercice 15, § 2

Soit $A$ un anneau. Montrer que tout $A$-module à gauche $E$ qui est plat et de présentation finie est projectif. (Étant donné un homomorphisme surjectif $u : F \to F''$ de $A$-modules à gauche, soit $u'$ l’homomorphisme $\mathrm{Hom}(1_E, u) : \mathrm{Hom}_A(E, F) \to \mathrm{Hom}_A(E, F'')$, et $\bar{u}$ l’homomorphisme $\mathrm{Hom}(u', 1_G) : \mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(\mathrm{Hom}_A(E, F''), G) \to \mathrm{Hom}_\mathbf{Z}(\mathrm{Hom}_A(E, F), G)$, où $G$ est un $\mathbf{Z}$-module divisible. En utilisant d’abord l’exerc. 14, prouver que $\bar{u}$ est injectif ; puis, en choisissant convenablement $G$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 14), montrer que $u'$ est surjectif.)