Exercice 9, § 2

Algèbre commutative, I

Soit E un A-module à gauche de présentation finie. a) Montrer que pour toute famille $(F_i)_{i \in I}$ de A-modules à droite, l’homomorphisme canonique $E \otimes_A (\prod_{i \in I} F_i) \to \prod_{i \in I} (E \otimes_A F_i)$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 3, no 7) est bijectif. b) Soit $(G_\alpha, \varphi_{\beta \alpha})$ un système inductif de A-modules à gauche ; montrer que l’homomorphisme canonique

\lim_{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_A(E, G_\alpha) \to \operatorname{Hom}_A(E, \lim_{\longrightarrow} G_\alpha)

est bijectif.

Solution

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