Exercice 9, § 3

Soient $A$ un anneau commutatif, $B$ une $A$-algèbre, $(C_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille de $A$-algèbres, et soit $B_\lambda = C_\lambda \otimes_A B$ l’algèbre produit tensoriel de $C_\lambda$ et de $B$ pour tout $\lambda \in L$. Soit $E$ un $B$-module à gauche. On pose $E_\lambda = B_\lambda \otimes_B E = C_\lambda \otimes_A E$; c'est un $(B_\lambda, C_\lambda)$-bimodule. De même, si $F$ est un $B$-module à droite, on pose $F_\lambda = F \otimes_B B_\lambda = F \otimes_A C_\lambda$, qui est un $(C_\lambda, B_\lambda)$-bimodule.

a) Montrer que le $(C_\lambda, C_\lambda)$-bimodule $F_\lambda \otimes_{B_\lambda} E_\lambda$ est isomorphe à $(F \otimes_B E) \otimes_A C_\lambda$.

b) Montrer que, si $E$ est un $B$-module plat (resp. fidèlement plat), chacun des $E_\lambda$ est un $B_\lambda$-module plat (resp. fidèlement plat). La réciprocité est vraie si l'on suppose en outre que $\bigoplus_{\lambda \in L} C_\lambda$ est un $A$-module fidèlement plat.

c) Montrer que, si $L$ est fini, si chacun des $E_\lambda$ est un $B_\lambda$-module projectif de type fini et si $\bigoplus_{\lambda \in L} C_\lambda$ est un $A$-module fidèlement plat, alors $E$ est un $B$-module projectif de type fini (utiliser la prop. 12 du n° 6).