Bài tập 9, § 3

Cho $A$ là một vành giao hoán, $B$ là một $A$-đại số, $(C_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các $A$-đại số và $B_\lambda = C_\lambda \otimes_A B$ là đại số tích tenxơ của $C_\lambda$ và $B$ với mọi $\lambda \in L$. Cho $E$ là một $B$-môđun trái. Đặt $E_\lambda = B_\lambda \otimes_B E = C_\lambda \otimes_A E$; đây là một $(B_\lambda, C_\lambda)$-song môđun. Tương tự, nếu $F$ là một $B$-môđun phải, đặt

là một $(C_\lambda, B_\lambda)$-song môđun.

(a) Chứng minh rằng $(C_\lambda, C_\lambda)$-song môđun $F, \otimes_{B_\lambda} E_\lambda$ là đẳng cấu với $(F \otimes_B E) \otimes_A C_\lambda$.

(b) Chứng minh rằng, nếu $E$ là một $B$-môđun phẳng (tương ứng, phẳng trung thành), thì mỗi $E_\lambda$ là một $B_\lambda$-môđun phẳng (tương ứng, phẳng trung thành). Điều đảo lại đúng nếu ta giả sử thêm rằng $\bigoplus_{\lambda \in L} C_\lambda$ là một $A$-môđun phẳng trung thành.

(c) Chứng minh rằng, nếu $L$ là hữu hạn, mỗi $E_\lambda$ là một $B_\lambda$-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn và $\bigoplus_{\lambda \in L} C_\lambda$ là một $A$-môđun phẳng trung thành, thì $E$ là một $B$-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn (sử dụng Mệnh đề 12 của no. 6).