Exercice 16, § 2

Soit $A$ un anneau topologique (non nécessairement commutatif). On dit que la topologie de $A$ est linéaire (à gauche) si les idéaux à gauche ouverts de $A$ forment un système fondamental de voisinages de 0. Lorsqu’il en est ainsi, l’ensemble $\mathscr{F}$ des idéaux à gauche ouverts de $A$ satisfait aux conditions suivantes :

1° Tout idéal à gauche de $A$ contenant un idéal $m \in \mathscr{F}$ appartient à $\mathscr{F}$. 2° Toute intersection finie d’idéaux de $\mathscr{F}$ appartient à $\mathscr{F}$. 3° Si $m \in \mathscr{F}$ et $a \in A$, l’idéal à gauche $n$ formé des $x \in A$ tels que $xa \in m$ appartient à $\mathscr{F}$.

Réciproquement, si un ensemble $\mathscr{F}$ d’idéaux à gauche d’un anneau $A$ vérifie ces trois conditions, il existe une topologie et une seule compatible avec la structure d’anneau de $A$ et pour laquelle $\mathscr{F}$ est l’ensemble des idéaux à gauche ouverts de $A$. On dit qu’un tel ensemble $\mathscr{F}$ d’idéaux à gauche est topologisant (à gauche).