Exercice 3, § 2

Soient S = \mathbf{Z}^* (complémentaire de \{0\} dans \mathbf{Z}), p un entier > 1, M le \mathbf{Z}-module somme directe des modules \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z} pour n \in \mathbf{N}. Montrer quel'on a S^{-1}M = 0 bien que M soit un \mathbf{Z}-module fidèle, et que l'application canonique S^{-1}\mathrm{End}_\mathbf{Z}(M) \to \mathrm{End}_{S^{-1}\mathbf{Z}}(S^{-1}M) n'est pas injective.