Exercice 10, § 5

Soient A un anneau, $E(A)$ l’ensemble des classes de A-modules projectifs de type fini ; soient G le $\mathbf{Z}$-module des combinaisons linéaires formelles des éléments de $E(A)$, N le sous-module de G formé des éléments $\xi - \xi' - \xi''$, où $\xi, \xi', \xi''$ sont les classes de trois A-modules projectifs de type fini M, M', M'' tels qu’il existe une suite exacte

(il revient au même de dire que M est isomorphe à la somme directe $M' \oplus M''$ en vertu d’Alg., chap. II, 3e éd., § 2, no 2). Soit $K(A)$ le $\mathbf{Z}$-module quotient G/N, et pour tout A-module projectif de type fini M, soit $\chi(M)$ (ou $\chi_A(M)$) sa classe dans $K(A)$.

a) Montrer qu’il existe sur $K(A)$ une structure d’anneau commutatif et une seule dont l’addition est celle du $\mathbf{Z}$-module $K(A)$ et la multiplication est telle que $\chi(M)\chi(N) = \chi(M \otimes_A N)$ pour deux A-modules projectifs de type fini, M, N ; $\chi(A)$ est l’élément unité de $K(A)$.

b) Pour tout A-module projectif de type fini M et tout entier $p \geqslant 0$ on désigne par $\lambda^p(M)$ l’élément $\chi(\bigwedge^p M)$ de $K(A)$. Montrer que l’on a $\lambda^p(M \oplus N) = \sum_{r+s=p} \lambda^r(M).\lambda^s(N)$. On désigne par $\lambda_T(M)$ l’élément $\sum_{p=0}^\infty \lambda^p(M)T^p$ dans l’anneau $K(A)[[T]]$ des séries formelles à une indéterminée sur l’anneau $K(A)$; monter que $\lambda_T(M \oplus N) = \lambda_T(M)\lambda_T(N)$; en déduire un homomorphisme encore noté $x \to \lambda_T(x)$ de $K(A)$ dans le groupe multiplicatif des séries formelles de $K(A)[[T]]$ dont le terme constant est égal à 1. On désignera par $\lambda^p(x)$ le coefficient de $T^p$ dans $\lambda_T(x)$; on a

pour $x, y$ dans $K(A)$.

c) Si A est un anneau local, l’anneau $K(A)$ s’identifie canoniquement à $\mathbf{Z}$, et on a $\lambda^p(n) = \binom{n}{p}$. En déduire que, si A est composé direct de m anneaux locaux, $K(A)$ est isomorphe à $\mathbf{Z}^m$.

d) Soit $\varphi : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux. Montrer qu’il existe un homomorphisme d’anneaux $\varphi^! : K(A) \to K(B)$ et un seul tel que $\varphi^!(\chi_A(M)) = \chi_B(M_{(B)})$ pour tout A-module projectif de type fini M ; on a $\varphi^!(\lambda^p(x)) = \lambda^p(\varphi^!(x))$ pour tout $x \in K(A)$; si $\psi : B \to C$ est un second homomorphisme d’anneaux, on a $(\psi \circ \varphi)^! = \psi^! \circ \varphi^!$.

e) Soit $\varphi : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux, pour lequel B soit un A-module projectif de type fini ; pour tout B-module projectif de type fini, $\varphi_*(N)$ est alors un A-module projectif de type fini ; en déduire qu’il existe un homomorphisme de $\mathbf{Z}$-modules $\varphi_! : K(B) \to K(A)$ tel que $\varphi_!(\chi_B(N)) = \chi_A(\varphi_*(N))$. Montrer que l’on a, pour $x \in K(A)$ et $y \in K(B)$, $\varphi_!(y.\varphi^!(x)) = \varphi_!(y).x$. Si $\psi : B \to C$ est un second homomorphisme d’anneaux pour lequel C est un B-module projectif de type fini, alors on a $(\psi \circ \varphi)_! = \varphi_! \circ \psi_!$.