Bài tập 10, § 5

Cho A là một vành, $E(A)$ là tập hợp các lớp của các A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn; cho G là $\mathbf{Z}$-môđun của các tổ hợp tuyến tính hình thức của các phần tử của $E(A)$, N là môđun con của G được tạo bởi các phần tử $\xi - \xi' - \xi''$, trong đó $\xi, \xi', \xi''$ là các lớp của ba A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn M, M', M'' sao cho tồn tại một dãy khớp

(điều này tương đương với việc nói rằng M đẳng cấu với tổng trực tiếp $M' \oplus M''$ theo Alg., chương II, ấn bản thứ 3, § 2, số 2). Gọi $K(A)$ là thương của $\mathbf{Z}$-môđun G/N, và với mọi A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn M, gọi $\chi(M)$ (hoặc $\chi_A(M)$) là lớp của nó trong $K(A)$.

a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại duy nhất một cấu trúc của một vành giao hoán trên $K(A)$ sao cho phép cộng của nó là phép cộng của $\mathbf{Z}$-môđun $K(A)$ và phép nhân của nó thỏa mãn $\chi(M)\chi(N) = \chi(M \otimes_A N)$ đối với hai A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn M, N; $\chi(A)$ là phần tử đơn vị của $K(A)$.

b) Với mọi A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn M và mọi số nguyên $p \geqslant 0$ gọi $\lambda^p(M)$ là phần tử $\chi(\bigwedge^p M)$ của $K(A)$. Bây giờ chứng minh rằng có $\lambda^p(M \oplus N) = \sum_{r+s=p} \lambda^r(M).\lambda^s(N)$. Gọi $\lambda_T(M)$ là phần tử $\sum_{p=0}^\infty \lambda^p(M)T^p$ trong vành $K(A)[[T]]$ của các chuỗi hình thức theo một bất định trên vành $K(A)$; bây giờ chứng minh rằng $\lambda_T(M \oplus N) = \lambda_T(M)\lambda_T(N)$; suy ra một đồng cấu lại được ký hiệu $x \to \lambda_T(x)$ từ $K(A)$ vào nhóm nhân của các chuỗi hình thức của $K(A)[[T]]$ có số hạng hằng bằng 1. Hệ số của $T^p$ trong $\lambda_T(x)$ sẽ được ký hiệu là $\lambda^p(x)$; ta có

với $x, y$ trong $K(A)$.

c) Nếu A là một vành địa phương, vành $K(A)$ xác định một cách chính tắc với $\mathbf{Z}$, và có $\lambda^p(n) = \binom{n}{p}$. Suy ra rằng, nếu A là một hợp thành trực tiếp của m vành địa phương, $K(A)$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}^m$.

d) Cho $\varphi : A \to B$ là một đồng cấu của các vành. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu của các vành $\varphi^! : K(A) \to K(B)$ sao cho $\varphi^!(\chi_A(M)) = \chi_B(M_{(B)})$ đối với mọi A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn M; có $\varphi^!(\lambda^p(x)) = \lambda^p(\varphi^!(x))$ với mọi $x \in K(A)$; nếu $\psi : B \to C$ là một đồng cấu thứ hai của các vành, có $(\psi \circ \varphi)^! = \psi^! \circ \varphi^!$.

e) Cho $\varphi : A \to B$ là một đồng cấu của các vành, sao cho B là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn; với mọi B-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, $\varphi_*(N)$ khi đó là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn; suy ra rằng tồn tại một đồng cấu của các $\mathbf{Z}$-môđun $\varphi_! : K(B) \to K(A)$ sao cho $\varphi_!(\chi_B(N)) = \chi_A(\varphi_*(N))$. Bây giờ chứng minh rằng có, với $x \in K(A)$ và $y \in K(B)$, $\varphi_!(y.\varphi^!(x)) = \varphi_!(y).x$. Nếu $\psi : B \to C$ là một đồng cấu thứ hai của các vành sao cho C là một B-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, thì có $(\psi \circ \varphi)_! = \varphi_! \circ \psi_!$.