Exercice 23, § 5

Soient A un anneau, $(f_i)_{i \in I}$ une famille finie d’éléments de A engendrant l’idéal A.

a) Soit M un A-module. Montrer que si, pour tout $i \in I$, $M_{f_i}$ est un $A_{f_i}$-module de type fini, M est un A-module de type fini.

b) Soit B une A-algèbre (commutative). Montrer que si, pour tout $i \in I$, $B_{f_i}$ est une $A_{f_i}$-algèbre de type fini, B est une A-algèbre de type fini.