Exercice 24, § 5

Soit A un anneau tel que Spec(A) soit connexe.

a) Si M est un A-module projectif de rang $n$, tout facteur direct N de M non réduit à 0 admet un rang $\leq n$.

b) Soit $u$ un homomorphisme d’un A-module projectif de rang fini M dans un A-module projectif de rang fini M’, tel que $u(M)$ soit facteur direct de M’. Montrer que Ker($u$) est alors facteur direct de M (cf. exerc. 23), et on a

En outre le transposé $^t u$ est tel que $^t u({M'}^*)$ soit facteur direct de M* et $\operatorname{rg}(^t u({M'}^*)) = \operatorname{rg}(u(M))$ (cf. § 3, exerc. 14 a)).