Bài tập 24, § 5

Cho $A$ là một vành sao cho Spec(A) là liên thông.

a) Nếu $M$ là một A-môđun xạ ảnh có hạng $n$, mọi nhân tử trực tiếp $N$ của $M$ không suy biến thành 0 đều nhận một hạng $\leq n$.

b) Cho $u$ là một đồng cấu của một A-môđun xạ ảnh hạng hữu hạn $M$ vào một A-môđun xạ ảnh hạng hữu hạn $M'$, sao cho $u(M)$ là một nhân tử trực tiếp của $M'$. Bây giờ chứng minh rằng Ker($u$) khi đó là một nhân tử trực tiếp của $M$ (xem bài tập 23), và ta có

Ngoài ra chuyển vị $^t u$ có tính chất là $^t u({M'}^*)$ là một nhân tử trực tiếp của M* và $\operatorname{rg}(^t u({M'}^*)) = \operatorname{rg}(u(M))$ (xem § 3, bài tập 14 a)).