Exercice 1, § 2

Soient $K$ un corps commutatif, $A$ l’anneau de polynômes $K[X, Y]$ à deux indéterminées, $a_n$ l’idéal principal $(X Y^n)$ dans $A$; la suite $(a_n)_{n \geq 1}$ forme, avec $a_0 = A$, une filtration exhaustive et séparée sur $A$. Soit $b$ l’idéal principal $(X)$ de $A$; montrer que, sur $b$, la topologie induite par celle de $A$ est strictement moins fine que la topologie définie par la filtration de $b$ associée à celle de $A$ (et $a fortiori$ cette dernière filtration est distincte de la filtration induite par celle de $A$).