Exercice 25, § 2

Soient $A$ un anneau topologique, $E$ un $A$-module à gauche de type fini. Montrer qu’il existe sur $E$ une topologie (dite canonique) compatible avec sa structure de $A$-module, et plus fine que toutes les autres (écrire $E$ sous la forme $A_s^n/R$, munir $A_s^n$ de la topologie produit et $E$ de la topologie quotient). Si $E'$ est un $A$-module topologique et $u : E \to E'$ une application $A$-linéaire, montrer que $u$ est continue pour la topologie canonique sur $E$. Si de plus $E'$ est de type fini et muni de la topologie canonique, $u$ est un morphisme strict. Si la topologie de $A$ est définie par une filtration $(A_n)$, montrer que la topologie canonique de $E$ est définie par la filtration $(A_nE)$.