Exercice 26, § 2

Soient $A$ un anneau commutatif, $m$ un idéal de $A$, $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ un système de générateurs de $m$, $\hat{A}$ le séparé complété de $A$ pour la topologie $m$-adique.

Montrer que, si $A'$ désigne l’anneau des séries formelles par rapport à une famille $(T_\lambda)_{\lambda \in L}$ d’indéterminées, n’ayant qu’un nombre fini de termes de degré donné (exerc. 12), $\hat{A}$ est isomorphe au quotient de $A'$ par l’adhérence $b$ de l’idéal de $A'$ engendré par les $T_\lambda - a_\lambda$ (utiliser le th. 1 du no 8). En particulier, l’anneau $\mathbf{Z}_p$ des entiers $p$-adiques est isomorphe au quotient $\mathbf{Z}[[T]]/(T-p)$.