Exercice 1, § 3

a) Soient K un corps commutatif de caractéristique $p > 0$, B l’anneau des séries formelles à coefficients dans K, par rapport à deux systèmes infinis d’indéterminées $(X_n), (Y_n)$, n’ayant qu’un nombre fini de termes de degré donné ($§ 2$, exerc. 12) ; B est un anneau local séparé pour la topologie $\mathfrak{m}$-adique, $\mathfrak{m}$ étant son idéal maximal. Soit $b$ l’idéal fermé de B engendré par les monômes $Y_i X_j$ pour $i \geq 0, 0 \leq j \leq i$;

soit A l’anneau local B/b, séparé pour la topologie n-adique, où n = m/b est son idéal maximal. Soit c l’élément de A égal à la classe mod. b de $\sum_{n=1}^{\infty} X_n^{p^n}$; montrer que pour $k \geq 3$ on a $n^k \cap (Ac) \subset n^2c$ (et a fortiori on ne peut avoir la relation

b) Soit C’ l’anneau commutatif ayant pour ensemble sous-jacent $A \times A$, avec la multiplication $(a, x)(a', x') = (aa', ax' + a'x)$; soit C le sous-anneau $A \times (Ac)$ de C’ ; C et C’ sont des anneaux locaux, dont on désigne par r et r’ les idéaux maximaux, et C’ est un C-module de type fini. Montrer que l’on a $r = r' \cap C$ mais que la topologie induite sur C par la topologie r’-adique n’est pas la topologie r-adique.