Bài tập 1, § 3

(a) Cho $K$ là một trường giao hoán có đặc số $p > 0$ và $B$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với các hệ số trong $K$ theo hai hệ vô hạn các bất định $(X_n), (Y_n)$ với chỉ một số hữu hạn số hạng của bậc đã cho ($§ 2$, Bài tập 12); $B$ là một vành địa phương Hausdorff với tôpô $n$-adic, $m$ là iđêan cực đại của nó. Cho $b$ là iđêan đóng của $B$ sinh bởi các đơn thức $Y_i X_j$ với $i \geq 0, 0 \leq j \leq i$; cho $A$ là vành địa phương $B/b$, là Hausdorff với tôpô $n$-adic, trong đó $n = m/b$ là iđêan cực đại của nó. Cho $c$ là phần tử của $A$ bằng lớp mod. $b$ của $\sum_{n=1}^\infty X_n^{p^n}$; hãy chứng minh rằng, với $k \geq 3$, $n^k n (Ac) \not\subset n^2 c$ (và a fortiori quan hệ

không thể xảy ra).

(b) Cho $C'$ là vành giao hoán có tập nền $A \times A$, với phép nhân $(a, x)(a', x') = (aa', ax' + a'x)$; cho $C$ là vành con $A \times (Ac)$ của $C'$; $C$ và $C'$ là các vành địa phương, các iđêan cực đại của chúng lần lượt được ký hiệu là $r$ và $r'$, và $C'$ là một $C$-môđun sinh hữu hạn. Hãy chứng minh rằng $r = r' n C$ nhưng tôpô cảm sinh trên $C$ bởi tôpô $r'$-adic không phải là tôpô $r$-adic.