Exercice 11, § 3

Soit A l'anneau $\mathbf{Z}_p$ des entiers $p$-adiques ($p$ premier) muni de la topologie $p$-adique pour laquelle il est un anneau de Zariski complet. Soit E le A-module $A^{(\mathbf{N})}$ muni de la topologie $p$-adique.

a) Montrer que le complété $\widehat{E}$ de E s'identifie au sous-module de $A^{\mathbf{N}}$ formé des suites $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ d'éléments de A telles que $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

EXERCICES

b) Soit $e_n$ le n-ème vecteur de la base canonique de E. On considère dans E le sous-module F engendré par les vecteurs $e_{2n-1}$ et le sous-module G engendré par les vecteurs $p^{2n}e_{2n} - e_{2n-1}$ ($n \geq 1$). Montrer que les topologies induites sur F et sur G par la topologie $p$-adique de E sont les topologies $p$-adiques de F et de G, mais que dans $\widehat{E}$, on a

c) Dans $\widehat{E}$, soit $a_r = \sum_{n=0}^{\infty} p^n e_{r+2n}$ ($r \geq 0$) ; soit H le sous-module de $\widehat{E}$ engendré par les $a_r$ ($r \geq 0$). Montrer que sur H la topologie induite par la topologie $p$-adique de $\widehat{E}$ est la topologie $p$-adique de H, mais que l’on a $\overline{E \cap H} \neq \overline{E} \cap \overline{H}$.

d) Soit L le sous-module de E engendré par les $p^n e_n$; montrer que sur L la topologie induite par la topologie $p$-adique de E est distincte de la topologie $p$-adique de L.