Bài tập 11, § 3

Cho A là vành $\mathbf{Z}_p$ của các số nguyên p-adic ($p$ nguyên tố) với tôpô p-adic mà theo đó nó là một vành Zariski đầy đủ. Cho E là A-môđun $A^{(\mathbf{N})}$ với tôpô p-adic. (a) Chứng minh rằng phần đầy đủ $\hat{E}$ của E được đồng nhất với môđun con của $A^{\mathbf{N}}$ gồm các dãy $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ của các phần tử của A sao cho $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. (b) Cho $e_n$ là vectơ thứ n của cơ sở chính tắc của E. Xét trong E môđun con F sinh bởi các vectơ $e_{2n-1}$ và môđun con G sinh bởi các vectơ $p^{2n}e_{2n} - e_{2n-1} \ (n \geq 1)$. Chứng minh rằng các tôpô cảm sinh trên F và G bởi tôpô p-adic trên E là các tôpô p-adic trên F và G nhưng rằng, trong $\hat{E}$,

(c) Trong $\hat{E}$, cho $a_r = \sum_{n=0}^{\infty} p^n e_{r+2} \ (r \geq 0)$; cho H là môđun con của $\hat{E}$ sinh bởi $a, (r \geq 0)$. Chứng minh rằng trên H tôpô cảm sinh bởi tôpô p-adic trên $\hat{E}$ là tôpô p-adic trên H nhưng rằng $E \cap H \neq \overline{E} \cap \overline{H}$.

(d) Cho L là môđun con của E sinh bởi $p^n e_n$; chứng minh rằng trên L tôpô cảm sinh bởi tôpô p-adic trên E là phân biệt với tôpô p-adic trên L.