Exercice 13, § 3

Soient A un anneau local noethérien d’idéal maximal $m$, B un anneau tel que $A \subset B \subset \widehat{A}$. On suppose que B soit un anneau local noethérien, d’idéal maximal $n$ (cf. exerc. 14).

a) Montrer que l’on a $n = B \cap \widehat{m}$ et $B = A + n$. Si en outre on a $n^2 = B \cap \widehat{m}^2$, alors on a $n = Bm$ (remarquer que l’on a alors $n = Bm + n^2$).

b) Soient K un corps commutatif, C l’anneau de polynômes $K[X]$, $p$ l’idéal premier CX, A l’anneau local (noethérien) $C_p$, $m$ son idéal maximal ; le complété $\widehat{A}$ s’identifie à l’anneau des séries formelles $K[[X]]$ (no 4, prop. 8). Soit $u = u(X)$ un élément de $\widehat{A}$ transcendant sur le corps des fractions rationnelles $K(X)$ (cf. Alg., chap. V, § 5, exerc. 13 ou Fonct. var. réelle, chap. III, § 1, exerc. 14 a)), n’ayant pas de terme constant ; soit B le sous-anneau de $\widehat{A}$ formé des quotients

où P et Q sont des polynômes de $K[X, Y]$ tels que $Q(0, 0) \neq 0$. Montrer que B est un anneau local noethérien contenant A, dont l’idéal maximal $n$ est engendré par X et $u(X)$; mais sur B la topologie $n$-adique est strictement moins fine que la topologie $m$-adique.

c) Les définitions étant les mêmes que dans b), soit $B'$ le sous-anneau de B engendré par A et par $u(X)$; montrer que $B'$ n’est pas un anneau local (remarquer que $B' \cap n$ est un idéal maximal de $B'$, mais qu’il y a des éléments de $B'$ non inversibles dans $B'$ et n’appartenant pas à $B' \cap n$).