Bài tập 13, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại $m$ và $B$ là một vành sao cho $A \subset B \subset \hat{A}$. Giả sử rằng $B$ là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại $n$ (Bài tập 14).

(a) Chứng minh rằng $n = B \cap m$ và $B = A + n$. Nếu thêm vào đó $n^2 = B \cap m^2$, thì $n = Bm$ (chú ý rằng khi đó $n = Bm + n^2$).

(b) Cho $K$ là một trường giao hoán, $C$ là vành đa thức $K[X]$, $p$ là iđêan nguyên tố $CX$, $A$ là vành địa phương (Noether) $C_p$ và $m$ là iđêan cực đại của nó; bao hoàn thành $\hat{A}$ được đồng nhất với vành các chuỗi lũy thừa hình thức $K[[X]]$ (no. 4, Mệnh đề 8). Cho $u = u(X)$ là một phần tử của $\hat{A}$ siêu việt trên trường các phân thức hữu tỉ $K(X)$ (xem Đại số, Chương V, §5, Bài tập 13 hoặc Hàm của một biến thực, Chương III, § 1, Bài tập 14 (a)) không có số hạng hằng; cho $B$ là vành con của $\hat{A}$ gồm các thương

trong đó $P$ và $Q$ là các đa thức trong $K[X, Y]$ sao cho $Q(0, 0) \neq 0$. Chứng minh rằng $B$ là một vành địa phương Noether chứa $A$, có iđêan cực đại $n$ được sinh bởi $X$ và $u(X)$; nhưng trên $B$ tôpô $n$-adic thực sự thô hơn tôpô $m$-adic.

(c) Với cùng các định nghĩa như trong (b), cho $B'$ là vành con của $B$ được sinh bởi $A$ và $u(X)$; chứng minh rằng $B'$ không phải là một vành địa phương (chú ý rằng $B' \cap n$ là một iđêan cực đại của $B'$ nhưng có những phần tử của $B'$ không khả nghịch trong $B'$ và không thuộc $B' \cap n$).