Exercice 14, § 3

Soient K un corps commutatif, C l’anneau $K[X, Y]$, $p$ l’idéal maximal CX + CY de C, A l’anneau local C_p, m son idéal maximal, $\hat{A}$ le complété de A, qui s’identifie à l’anneau des séries formelles K[[X, Y]] (no 4, prop. 8). Soit B le sous-anneau de $\hat{A}$ formé des séries formelles du type Xf(X, Y) + (P(Y)/Q(Y)), où $f \in \hat{A}$ et où P et Q sont deux polynômes de K[Y] tels que Q(0) ≠ 0.

a) Montrer que l’on a A ⊂ B, que B est un anneau local dont l’idéal maximal $\mathfrak{n}$ est égal à Bm, et que l’on a $\mathfrak{n}^k = B \cap \hat{m}^k$ pour tout entier $k \geq 1$; B est donc partout dense dans $\hat{A}$ et la topologie induite sur B par la topologie $\hat{m}$-adique de $\hat{A}$ est la topologie $\mathfrak{n}$-adique.

b) Montrer que dans B l’idéal b engendré par tous les éléments de la forme Xf(Y), où $f(Y) \in K[[Y]]$, n’est pas de type fini (cf. Alg., chap. V, § 5, exerc. 13), et par suite B n’est pas noethérien, bien que B/$\mathfrak{n}$ et gr(B) = gr($\hat{A}$) soient noethériens et que l’idéal $\mathfrak{n}$ soit de type fini ; on a $b = B \cap \hat{A}X$, et b est l’adhérence dans B de l’idéal principal (non fermé) BX ; enfin B n’est pas un A-module plat et $\hat{B} = \hat{A}$ n’est pas un B-module plat (utiliser le chap. I, § 3, no 5, prop. 9).

c) Soit f(Y) une série formelle inversible de K[[Y]], qui n’est pas un élément de K(Y). Si c est l’idéal de B engendré par X et Xf(Y), montrer que sur c la topologie $\mathfrak{n}$-adique est strictement plus fine que la topologie induite sur c par la topologie $\mathfrak{n}$-adique de B. Montrer que l’application canonique $\hat{B} \otimes_B c \to \hat{c}$ (où $\hat{c}$ est le complété de c pour la topologie $\mathfrak{n}$-adique) n’est pas injective (considérer les images de $f(Y) \otimes X$ et de $1 \otimes Xf(Y)$; pour montrer que ces deux éléments sont distincts dans $\hat{B} \otimes_B c$, on considérera ce produit tensoriel comme quotient du produit tensoriel $\hat{B} \otimes_{K(Y)} c$).

d) Soient $f_1(Y), f_2(Y)$ deux séries formelles inversibles de K[[Y]] telles que 1, $f_1$ et $f_2$ soient linéairement indépendants sur K(Y). Soient $c_1, c_2$ les idéaux principaux de B engendrés respectivement par X$f_1(Y)$ et X$f_2(Y)$; les topologies $\mathfrak{n}$-adiques sur $c_1$ et $c_2$ sont respectivement identiques aux topologies induites par celle de B, et les adhérences de ces idéaux dans $\hat{A} = \hat{B}$ sont toutes deux identiques à l’idéal principal $\hat{A}X$ de $\hat{A}$. En déduire que l’adhérence de $c_1 \cap c_2$ dans $\hat{A}$ n’est pas égale à $\bar{c}_1 \cap \bar{c}_2$, et que l’adhérence de $c_1 : c_2$ dans $\hat{A}$ n’est pas égale à $\bar{c}_1 : \bar{c}_2$.