Bài tập 14, § 3

Cho $K$ là một trường giao hoán, $C$ là vành $K[X, Y]$, $p$ là iđêan cực đại $CX + CY$ của $C$, $A$ là vành địa phương $C_p$, $m$ là iđêan cực đại của nó và $\hat{A}$ là vành hoàn thiện của $A$, được đồng nhất với vành các chuỗi lũy thừa hình thức $K[[X, Y]]$ (no. 4, Mệnh đề 8). Cho $B$ là vành con của $\hat{A}$ gồm các chuỗi lũy thừa hình thức có dạng $Xf(X, Y) + (P(Y)/Q(Y))$, trong đó $f \in \hat{A}$ và $P$ và $Q$ là hai đa thức của $K[Y]$ sao cho $Q(0) \neq 0$.

(a) Chứng minh rằng $A \subset B$, rằng $B$ là một vành địa phương có iđêan cực đại $n$ bằng $Bm$ và rằng $n^k = B \cap m^k$ với mọi số nguyên $k \geq 1$; do đó $B$ là trù mật khắp nơi trong $\hat{A}$ và tôpô cảm sinh trên $B$ bởi tôpô $m$-adic trên $\hat{A}$ là tôpô $n$-adic.

(b) Chứng minh rằng trong $B$ iđêan $b$ sinh bởi tất cả các phần tử có dạng $Xf(Y)$, trong đó $f(Y) \in K[[Y]]$, không sinh hữu hạn (xem Đại số, Chương V, § 5, Bài tập 13) và do đó $B$ không là Noether, mặc dù $B/n$ và $\mathrm{gr}(B) = \mathrm{gr}(\hat{A})$ là Noether và iđêan $n$ sinh hữu hạn; $b = B \cap \hat{A}X$ và $b$ là bao đóng trong $B$ của iđêan chính (không đóng) $BX$; cuối cùng $B$ không là một $A$-môđun phẳng và $\hat{B} = \hat{A}$ không là một $B$-môđun phẳng (dùng Chương I, § 3, no. 5, Mệnh đề 9).

(c) Cho $f(Y)$ là một chuỗi lũy thừa hình thức khả nghịch trong $K[[Y]]$, không phải là một phần tử của $K(Y)$. Nếu $c$ là iđêan của $B$ sinh bởi $X$ và $Xf(Y)$, hãy chứng minh rằng trên $c$ tôpô $n$-adic là mịn hơn nghiêm ngặt so với tôpô cảm sinh trên $c$ bởi tôpô $n$-adic trên $B$. Hãy chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $\hat{B} \otimes_B c \to \hat{c}$ (trong đó $\hat{c}$ là sự hoàn thành của $c$ đối với tôpô $n$-adic) không là đơn ánh (xét các ảnh của $f(Y) \otimes X$ và $1 \otimes Xf(Y)$; để chứng minh rằng hai phần tử này phân biệt trong $\hat{B} \otimes_B c$, hãy xét tích tenxơ này như một thương của tích tenxơ $\hat{B} \otimes_{K(Y)} \hat{c}$).

(d) Cho $f_1(Y), f_2(Y)$ là hai chuỗi lũy thừa hình thức khả nghịch trong $K[[Y]]$ sao cho $1, f_1$ và $f_2$ độc lập tuyến tính trên $K(Y)$. Cho $c_1, c_2$ là các iđêan chính của $B$ sinh tương ứng bởi $Xf_1(Y)$ và $Xf_2(Y)$; các tôpô $n$-adic trên $c_1$ và $c_2$ lần lượt trùng với các tôpô cảm sinh bởi tôpô trên $B$ và các bao đóng của các iđêan này trong $\hat{A} = \hat{B}$ đều trùng với iđêan chính $\hat{A}X$ của $\hat{A}$. Hãy suy ra rằng bao đóng của $c_1 \cap c_2$ trong $\hat{A}$ không bằng $\hat{c}_1 \cap \hat{c}_2$ và rằng bao đóng của $c_1 : c_2$ không bằng $\hat{c}_1 : \hat{c}_2$.