Exercice 15, § 3

a) Soient A un anneau noethérien intègre, m un idéal de A, $\hat{A}$ le séparé complété de A pour la topologie m-adique. Montrer que si M est un A-module sans torsion, alors, pour tout élément b non diviseur de 0 dans $\hat{A}$, l’homothétie de rapport b dans le $\hat{A}$-module $\hat{A} \otimes_A M$ est injective. (Se ramener au cas où M est de type fini ; il existe alors un système libre maximal $(m_j)_{1 \leq j \leq n}$ dans M et un $a \in A$ tels que pour tout $m \in M$, on ait $am = \sum a_j m_j$ avec $a_j \in A$; tout $x \in \hat{A} \otimes_A M$ est donc tel que $ax = \sum b_j \otimes m_j$ avec $b_j \in \hat{A}$; utiliser alors la platitude du A-module $\hat{A}$.)

b) Soient K un corps algébriquement clos de caractéristique 0, B l’anneau de polynômes K[X, Y], P(X, Y) = X(X^2 + Y^2) + (X^2 - Y^2). Montrer que l’idéal BP est premier dans B ; on considère l’anneau quotient $A = B/BP$ qui est intègre et noethérien. Soit m l’idéal maximal de A, image canonique de l’idéal maximal $n = BX + BY$ de B. Montrer que le séparé complété $\hat{A}$ de A pour la topologie $m$-adique n’est pas intègre (observer que dans l’anneau de séries formelles $K[[X, Y]]$, P se décompose en produit de deux séries formelles (« point double d’une cubique irréductible »)).