Bài tập 15, § 3

(a) Cho $A$ là một miền nguyên Noether, $m$ là một iđêan của $A$ và $\hat{A}$ là phép hoàn thiện Hausdorff của $A$ đối với tôpô $m$-adic. Chứng minh rằng, nếu $M$ là một $A$-môđun xoắn tự do, thì, với mọi phần tử $b$ không phải là ước của $0$ trong $\hat{A}$, phép vị tự với tỉ số $b$ trong $A$-môđun $\hat{A} \otimes_A M$ là đơn ánh. (Rút gọn về trường hợp $M$ sinh hữu hạn; khi đó tồn tại một hệ tự do cực đại $(m_j)_{1 < j < \infty}$ trong $M$ và $a \in A$ sao cho với mọi $m \in M, am = \sum_j a_j m_j$ trong đó $a_j \in A$; mọi $x \in \hat{A} \otimes_A M$ do đó thỏa mãn $ax = \sum_j b_j \otimes m_j$ trong đó $b_j \in \hat{A}$; sau đó sử dụng tính phẳng của $A$-môđun $\hat{A}$.)

(b) Cho $K$ là một trường đóng đại số có đặc số $0$, $B$ là vành đa thức $K[X, Y]$ và $P(X, Y) = X(X^2 + Y^2) + (X^2 - Y^2)$. Chứng minh rằng iđêan $BP$ là nguyên tố trong $B$; xét vành thương $A = B/BP$ là một miền nguyên Noether. Cho $m$ là iđêan cực đại của $A$, ảnh chính tắc của iđêan cực đại $n = BX + BY$ của $B$. Chứng minh rằng phép hoàn thiện Hausdorff $\hat{A}$ của $A$ đối với tôpô $m$-adic không phải là một miền nguyên (nhận xét rằng trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức $K[[X, Y]]$, $P$ phân tích thành tích của hai chuỗi lũy thừa hình thức ("điểm kép của một đường cong lập phương bất khả quy").