Exercice 16, § 3

Soient A un anneau commutatif noethérien, $m$ un idéal de A, E un A-module de type fini muni de la topologie $m$-adique. Pour tout ensemble infini I, on désigne par $E_I$ l’ensemble des familles $(x_i)_{i \in I}$ d’éléments de E telles que $\lim x_i = 0$ suivant le filtre des complémentaires des parties finies de I ; c’est un sous-module du A-module produit $E^I$.

a) Montrer que si $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ est une suite exacte de A-modules de type fini, la suite correspondante $0 \to E'_I \to E_I \to E''_I \to 0$ est exacte.

b) Définir un A-homomorphisme canonique $A_I \otimes_A E \to E_I$ pour tout A-module E et montrer que c’est un isomorphisme (le vérifier d’abord lorsque E est libre de type fini, puis utiliser a)).

c) Déduire de b) que $A_I$ est un A-module fidèlement plat.