Bài tập 16, § 3

Cho $A$ là một vành giao hoán Noether, $m$ là một iđêan của $A$ và $E$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn với tôpô $m$-adic. Với mọi tập vô hạn $I$, gọi $E$, là tập hợp các họ $(x_i)_{i \in I}$ gồm các phần tử của $E$ sao cho $\lim x_i = 0$ đối với lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của $I$; đó là một môđun con của $A$-môđun tích $E^I$.

(a) Chứng minh rằng, nếu $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ là một dãy khớp của các $A$-môđun sinh hữu hạn, thì dãy tương ứng $0 \to E'_1 \to E_1 \to E''_1 \to 0$ là khớp.

(b) Định nghĩa một $A$-đồng cấu chính tắc $A, \otimes_A E \to E_1$ với mọi $A$-môđun $E$ và chứng minh rằng nó là một đẳng cấu (trước hết kiểm tra điều này khi $E$ là tự do và sinh hữu hạn rồi dùng (a)).

(c) Suy ra từ (b) rằng $A$, là một $A$-môđun phẳng trung thành.