Exercice 19, § 3

Soient $A$ un anneau commutatif noethérien, $m$ un idéal de $A$, $S$ une partie multiplicative de $A$. On munit $A$ de la topologie $m$-adique.

a) Montrer que l’anneau $A\{ S^{-1} \}$ ($§ 2$, exerc. 27) est un $A$-module plat.

b) Soit $S'$ une seconde partie multiplicative de $A$, contenue dans $S$. Montrer que $A\{ S^{-1} \}$ est un $(A\{ {S'}^{-1} \})$-module plat (utiliser l’exer. 27 d) du $§ 2$).

c) Montrer que $A\{ S^{-1} \}$ est un $A_{\{ S \}}$-module plat ($§ 2$, exerc. 27 g)).

d) On suppose que $S = A - p$, où $p$ est un idéal premier ouvert de $A$. Montrer que $A\{ S^{-1} \}$ est un $A_{\{ S \}}$-module fidèlement plat, et en déduire que l’anneau $A_{\{ S \}}$ est noethérien (cf. $§ 2$, exerc. 27 g)).