Bài tập 19, § 3

Cho $A$ là một vành giao hoán Noether, $m$ một iđêan của $A$ và $S$ một tập con nhân của $A$. Trang bị cho $A$ tôpô $m$-adic.

(a) Chứng minh rằng vành $A\{S^{-1}\}$ ($\S$ 2, Bài tập 27) là một $A$-môđun phẳng.

(b) Cho $S'$ là một tập con nhân khác của $A$ được chứa trong $S$. Chứng minh rằng $A\{S^{-1}\}$ là một môđun phẳng trên $(A\{{S'}^{-1}\})$ (sử dụng Bài tập 27 (d) của $\S$ 2).

(c) Chứng minh rằng $A\{S^{-1}\}$ là một môđun phẳng trên $A_{(S)}$ ($\S$ 2, Bài tập 27 (g)).

(d) Giả sử rằng $S = A - p$, trong đó $p$ là một iđêan nguyên tố mở của $A$. Chứng minh rằng $A\{S^{-1}\}$ là một $A_{(S)}$-môđun phẳng trung thành và suy ra rằng vành $A_{,,}$ là Noether (xem $\S$ 2, Bài tập 27 (g)).