Exercice 20, § 3

Soient $A$ un anneau commutatif, $m$ un idéal de $A$; on munit $A$ de la topologie $m$-adique. Soit $B$ une $A$-algèbre topologique commutative ($§ 2$, exerc. 28); on suppose que $B$ est un anneau de Zariski; soit $\mathfrak{n}$ un idéal de définition de $B$. Montrer que si $M$ est un $A$-module de type fini, muni de la topologie $m$-adique, alors, sur le $B$-module $B \otimes_A M$, le produit tensoriel de la topologie de $B$ et de la topologie $m$-adique de $M$ est la topologie $\mathfrak{n}$-adique de $B \otimes_A M$; par suite le produit tensoriel complété $(B \otimes_A M)^{\sim}$ est isomorphe à $\widehat{B} \otimes_A M$.