Exercice 21, § 3

Soient $A$ un anneau commutatif noethérien, $m$ un idéal de $A$, $M$ et $N$ deux $A$-modules de type fini.

a) On suppose $M$ séparé pour la topologie $m$-adique. Montrer que dans $\mathrm{Hom}_A(M, N)$, muni de la topologie $m$-adique, l’ensemble des homomorphismes injectifs est ouvert (utiliser le no 1, prop. 2, et le lemme d’Artin-Rees).

b) On suppose que $A$ soit un anneau de Zariski complet, $m$ un idéal de définition de $A$. Pour tout entier $i$, soient $A_i = A/m^{i+1}$, $M_i = M/m^{i+1}M$, $N_i = N/m^{i+1}N$; montrer que le $A$-module topologique $\mathrm{Hom}_A(M, N)$ est isomorphe à $\lim \leftarrow \mathrm{Hom}_{A_i}(M_i, N_i)$. En déduire que dans $\mathrm{Hom}_A(M, N)$, l’ensemble des homomorphismes surjectifs est ouvert.