Bài tập 21, § 3

Cho $A$ là một vành Noether giao hoán, $m$ là một iđêan của $A$ và $M$ và $N$ là hai $A$-môđun sinh hữu hạn.

(a) Giả sử rằng $M$ là Hausdorff với tôpô $m$-đic. Chứng minh rằng trong $\operatorname{Hom}_A(M, N)$ với tôpô $m$-đic, tập hợp các đồng cấu đơn ánh là mở (sử dụng No. 1, Mệnh đề 2 và Bổ đề Artin-Rees).

(b) Giả sử rằng $A$ là một vành Zariski đầy đủ và $m$ là một iđêan xác định của

A. Với mọi số nguyên $i$, đặt $A_i = A/m^{i+1}$, $M_i = M/m^{i+1}M$, $N_i = N/m^{i+1}N$; chứng minh rằng $A$-môđun tôpô $\operatorname{Hom}_A(M, N)$ là đẳng cấu với

Suy ra rằng trong $\operatorname{Hom}_A(M, N)$ tập hợp các đồng cấu toàn ánh là mở.