Exercice 23, § 3

a) Soient A un anneau commutatif noethérien, $\mathfrak{m}$ un idéal de A. On désigne par $P\{M\}$ la propriété suivante : M est un A-module et tout sous-module de type fini de M est annulé par une puissance de $\mathfrak{m}$. Montrer que les conditions α), β) et γ) de l’exerc. 22 sont remplies. (Pour prouver γ), se ramener au cas où M est de type fini ; pour tout $a \in \mathfrak{m}$, il existe par hypothèse $k > 0$ tel que $a^k N = 0$; utiliser le fait qu’il existe $r > 0$ tel que $\mathrm{Ker}(a_M^r) \cap \mathrm{Im}(a_M^r) = 0$ (Alg., chap. VIII, § 2, no 2, lemme 2)).

b) Montrer que si M est un A-module de type fini, la topologie $\mathscr{C}_P(M)$ est identique à la topologie $\mathfrak{m}$-adique. Donner un exemple de A-module M pour lequel $\mathscr{C}_P(M)$ est strictement plus fine que la topologie $\mathfrak{m}$-adique (cf. exerc. 11).

c) Montrer que la conclusion de a) ne s’étend pas au cas où A est un anneau non commutatif noethérien à gauche et $\mathfrak{m}$ un idéal bilatère de A (considérer l’anneau des matrices triangulaires inférieures d’ordre 2 sur un corps commutatif).