Bài tập 23, § 3

(a) Cho $A$ là một vành Noether giao hoán và $m$ là một iđêan của $A$. Ký hiệu $P\{M\}$ là tính chất sau: $M$ là một $A$-môđun và mọi môđun con sinh hữu hạn của $M$ đều bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $m$.

Chứng minh rằng các điều kiện (α), (β) và (γ) của Bài tập 22 được thỏa mãn. (Để chứng minh (γ), rút gọn về trường hợp $M$ sinh hữu hạn; với mọi $a \in m$, theo giả thiết tồn tại $k > 0$ sao cho $a^k N = 0$; sử dụng sự kiện rằng tồn tại $r > 0$ sao cho $\operatorname{Ker}(a_M^r) \cap \operatorname{Im}(a_M^r) = 0$ (Đại số, Chương VIII, § 2, no. 2, Bổ đề 2).)

(b) Chứng minh rằng, nếu $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, tôpô $\mathscr{T}_P(M)$ trùng với tôpô $m$-adic. Hãy cho một ví dụ về một $A$-môđun $M$ sao cho $\mathscr{T}_P(M)$ mịn hơn tôpô $m$-adic (xem Bài tập 11).

(c) Chứng minh rằng kết luận của (a) không mở rộng được đến trường hợp $A$ là một vành Noether trái không giao hoán và $m$ là một iđêan hai phía của $A$ (xét vành các ma trận tam giác dưới cấp 2 trên một trường giao hoán).