Exercice 4, § 3

Soient A un anneau semi-local, r son radical. Pour que A soit noethérien, il faut et il suffit que tout idéal de A soit fermé pour la topologie r-adique et que tout idéal maximal de A soit de type fini. (Si ces conditions sont vérifiées, montrer d’abord que le séparé complété $\hat{A}$ de A est noethérien en utilisant le § 2, no 13, cor. de la prop. 19 et no 10, cor. 5 du th. 1. Observer ensuite que la topologie r-adique est séparée sur A et qu’il existe une injection croissante de l’ensemble des idéaux de A dans l’ensemble des idéaux de $\hat{A}$.)