Bài tập 4, § 3

Cho $A$ là một vành nửa địa phương và $r$ là căn Jacobson của nó. Để $A$ là Noether, điều kiện cần và đủ là mọi iđêan của $A$ đều đóng đối với tôpô $r$-adic và mọi iđêan cực đại của $A$ đều sinh hữu hạn. (Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, trước hết hãy chứng minh rằng phép hoàn thành Hausdorff $\hat{A}$ của $A$ là Noether, sử dụng § 2, no. 13, Hệ quả của Mệnh đề 19 và no. 10, Hệ quả 5 của Định lý 1. Sau đó nhận xét rằng tôpô $r$-adic là Hausdorff trên $A$ và rằng tồn tại một đơn ánh tăng của tập hợp các iđêan của $A$ vào tập hợp các iđêan của $\hat{A}$.)