Exercice 7, § 3

Soient A un anneau commutatif noethérien, E un A-module. On munit A de la topologie $\mathscr{C}_m(A)$ (§ 2, exerc. 24), et on désigne par $\mathscr{C}_m(E)$ la topologie linéaire sur E dont un système fondamental de voisinages de 0 est formé par les sous-modules $\mathfrak{a}.E$, où $\mathfrak{a}$ parcourt un système fondamental de voisinages de 0 pour $\mathscr{C}_m(A)$, formé d'idéaux de A. Montrer que si E est de type fini, E est un A-module topologique séparé (pour $\mathscr{C}_m(A)$ et $\mathscr{C}_m(E)$), dont tout sous-module est fermé. Un système fondamental de voisinages de 0 pour $\mathscr{C}_m(E)$ est alors formé des sous-modules F de E tels que E/F soit un module de longueur finie, et pour tout sous-module M de E, la topologie $\mathscr{C}_m(M)$ est induite par $\mathscr{C}_m(E)$.