Bài tập 7, § 3

Cho $A$ là một vành Noether giao hoán và $E$ là một $A$-môđun. Cho $A$ được trang bị tôpô $\mathscr{T}_m(A)$ (§ 2, Bài tập 24) và ký hiệu $\mathscr{T}_m(E)$ là tôpô tuyến tính trên $E$ mà một hệ cơ sở các lân cận của 0 gồm các môđun con $a.E$, trong đó $a$ chạy qua một hệ cơ sở các lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}_m(A)$, gồm các iđêan của $A$. Chứng minh rằng nếu $E$ sinh hữu hạn thì $E$ là một $A$-môđun tôpô Hausdorff (với $\mathscr{T}_m(A)$ và $\mathscr{T}_m(E)$), trong đó mọi môđun con đều đóng. Khi đó một hệ cơ sở các lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}_m(E)$ gồm các môđun con $F$ của $E$ sao cho $E/F$ là một môđun có độ dài hữu hạn và, đối với mọi môđun con $M$ của $E$, tôpô $\mathscr{T}_m(M)$ là tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}_m(E)$.