Exercice 1, § 5

Soient $A$ un anneau commutatif, $\mathfrak{J}$ un idéal de $A$. On dit qu’un $A$-module $M$ est absolument séparé pour $\mathfrak{J}$ si pour tout $A$-module de type fini $N$, le $A$-module $N \otimes_A M$ est séparé pour la topologie $\mathfrak{J}$-adique; un $A$-module absolument séparé est idéalement séparé.

a) Pour que $M$ soit absolument séparé pour $\mathfrak{J}$, il faut et il suffit que pour tout $A$-module de type fini $N$ et tout sous-module $N'$ de $N$, $\operatorname{Im}(N' \otimes_A M)$ soit fermé dans $N \otimes_A M$ pour la topologie $\mathfrak{J}$-adique.

b) Soient $B$ une $A$-algèbre commutative, et soit $\mathfrak{L}$ un idéal de $B$ contenant $\mathfrak{J}B$. Si $M$ est un $B$-module absolument séparé pour $\mathfrak{L}$, $M$ est un $A$-module absolument séparé pour $\mathfrak{J}$.